Tipe-Tipe/Jenis Berpikir Matematis

a. Berpikir matematis terkait karakter matematika

1. Berpikir dengan memiliki objek kajian yang abstrak

Matematika mempunyai objek kajian yang bersifat abstrak, walaupun tidak setiap objek abstrak adalah matematika (Sumardyono, 2004). Sementara beberapa matematikawan menganggap objek matematika itu "konkret" dalam pikiran mereka, maka kita dapat menyebut objek matematika secara lebih tepat sebagai objek mental atau pikiran. Ada empat objek kajian matematika, yaitu fakta, operasi (atau relasi), konsep, dan prinsip.

i. Fakta

Fakta adalah pemufakatan atau konvensi dalam matematika yang biasanya diungkapkan lewat simbol tertentu (Suherman, dkk., 2001). Cara mempelajari fakta bisa dengan cara hafalan, drill (latihan terus- menerus), demontrasi tertulis, dan lain-lain. Namun perlu dicamkan bahwa mengingat fakta adalah penting tetapi jauh lebih penting memahami konsep yang diwakilinya. Mengutip istilah Skemp, arti atau konsep yang diwakili oleh simbol disebut deep structure (struktur dalam), sementara bentuk simbol itu sendiri merupakan surface strukture (struktur muka).

Rubenstein & Thompson Menyatakan: In general, teachers must be aware of the difficulties that symbolism creates for students. Symbolism is a form of mathematical language that is compact, abstract, specific, and formal. ¼ . Therefore, opportunities to use that language should be reguler, rich, meaningful, and rewarding (Sumardyono, 2004).

(Secara umum, guru harus menyadari kesulitan-kesulitan tentang simbol bagi siswa. Simbolisme merupakan bentuk bahasa matematika yang rapi, abstrak, khusus, dan formal ¼ Dengan demikian, kesempatan menggunakan bahasa tersebut seharusnya secara bertahap, kaya, penuh arti, dan bermanfaat).

Dengan demikian dalam memperkenalkan simbol atau fakta matematika kepada siswa, guru seharusnya melalui beberapa tahap yang memungkinkan siswa dapat menyerap makna dari simbol-simbol tersebut. Penggunaan simbol seharusnya secara informal pada tahap awal, untuk membantu anak tetap pada pola dan hubungan yang dapat mereka pahami.

Contoh (SD) (contoh-contoh fakta)

Simbol "2" secara umum telah dipahami sebagai simbol untuk bilangan dua. Sebaliknya bila kita menghendaki bilangan dua, cukup dengan menggunakan simbol "2".Fakta yang lain dapat berupa gabungan dari beberapa simbol, seperti "3 + 2" yang dipahami sebagai "tiga ditambah dua", "2 × 3" yang dipahami sebagai "dua kali tiga" yang tentunya berbeda dengan simbol "3 × 2", "3 × 4 = 12" yang dipahami sebagai "tiga kali empat sama dengan dua belas", "2 < 3" yang dipahami sebagai "dua lebih kecil dari tiga”.

Contoh (SMP, SMA) (contoh-contoh fakta yang komplek)

Yang agak komplek fakta seperti "p » 3,14" yang dipahami sebagai bilangan pi mendekati tiga koma satu empat", "2³ = 2 × 2 × 2" yang dipahami sebagai "dua pangkat tiga sama dengan dua kali dua kali dua". Dalam geometri juga terdapat simbol-simbol tertentu, seperti "⊥" yang berarti "tegak lurus", simbol "//" yang berarti "sejajar". Dalam trigonometri kita kenal symbol "∠" yang berarti "sudut", simbol "∆" yang menunjukkan "segitiga", juga yang agak komplek seperti "sin" yang berarti "perbandingan atau fungsi sinus". Dalam aljabar, simbol "(a, b)" menunjukkan "pasangan berurutan", simbol "ƒ" yang dipahami sebagai "fungsi", dan masih banyak lagi.

ii. Konsep

Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengkategorikan sekumpulan objek, apakah objek tertentu merupakan contoh konsep atau bukan (Sumardyono, 2004).

Contoh (SD, SMP, SMA)

"Segitiga" adalah nama suatu konsep. Dengan konsep itu kita dapat membedakan mana yang merupakan contoh segitiga dan mana yang bukan contoh segitiga. "Bilangan prima" juga nama suatu konsep, yang dengan konsep itu kita dapat membedakan mana yang merupakan bilangan prima dan mana yang bukan. Konsep "bilangan prima" lebih komplek dari konsep "segitiga" oleh karena di dalam konsep "bilangan prima" memuat konsep-konseplain seperti "faktorisasi", "bilangan", "satu", dan lain-lain. Di samping itu, dalam matematika terdapat konsep-konsep yang penting, seperti "fungsi" dan "variabel". Selain itu terdapat pula konsep-konsep yang lebih komplek, seperti "matriks", "determinan", "periodik", "gradien", "vektor", "group", dan "bilangan pi".

Konsep dapat dipelajari lewat definisi atau observasi langsung. Siswa telah dianggap memahami konsep bila ia dapat memisahkan contoh konsep dari yang bukan contoh konsep

iii. Operasi dan Relasi

Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika lainnya. Sementara relasi adalah hubungan antara dua atau lebih eleman (Sumarrdyono, 2004).

Contoh (SD, SMP) (contoh operasi dan relasi)

Contoh operasi antara lain: "penjumlahan", "perpangkatan", "gabungan", "irisan", dan lain-lain. Sedang relasi antara lain: "sama dengan", lebih kecil", dan lain-lain.

Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Semesta dari elemen-elemen yang dioperasikan dengan elemen yang diperoleh dari operasi tersebut bisa sama bisa pula berbeda. Elemen yang dihasilkan dari suatu operasi disebut hasil operasi.

Dalam matematika dikenal bermacam-macam operasi, yaitu operasi "unair" bila melibatkan hanya satu elemen yang diketahui, operasi "biner" bila melibatkan tepat dua elemen yang diketahui, operasi "terner" bila melibatkan tepat tiga elemen yang diketahui.

Contoh (SD, SMP, SMA) (contoh jenis operasi)

Operasi "penjumlahan", "perkalian", "gabungan", "irisan" termasuk contoh operasi biner, sementara operasi "pangkat dua", "tambah lima", "komplemen" termasuk contoh-contoh operasi unair.

Operasi seringkali juga disebut sebagai "skill" (keterampilan), bila yang ditekankan adalah keterampilannya. Keterampilan ini dapat dipelajari lewat demonstrasi, drill, dan lain-lain. Siswa dianggap telah menguasai suatu keterampilan atau operasi bila ia dapat mendemonstrasikan keterampilan atau operasi tersebut dengan benar

iv. Prinsip

Prinsip adalah objek matematika yang komplek, yang terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi atau pun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa "aksioma", "teorema" atau "dalil", "corollary" atau "sifat", dan sebagainya.

Contoh (SD, SMP, SMA)

Sifat komutatif dan sifat asosiatif dalam aritmetika merupakan suatu prinsip. Begitu pula dengan Teorema Pythagoras. Contoh sebuah aksioma antara lain "melalui satu titik A di luar sebuah garis g dapat dibuat tepat sebuah garis yang sejajar garis g".

Siswa dapat dianggap telah memahami suatu prinsip bila ia memahami bagaimana prinsip tersebut dibentuk dan dapat menggunakannya dalam situasi yang cocok. Bila, demikian berarti ia telah memahami fakta, konsep atau definisi, serta operasi atau relasi yang termuat dalam prinsip tersebut.

2. Berpikir bertumpu pada kesepakatanq

Simbol-simbol dan istilah-istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi yang penting (Suherman, dkk., 2001). Dengan simbol dan istilah yang telah disepakati dalam matematika maka pembahasan selanjutnya akan menjadi mudah dilakukan dan dikomunikasikan.

Contoh (SD, SMP, SMA)

Lambang bilangan yang digunakan sekarang: 1, 2, 3, dan seterusnya merupakan contoh sederhana sebuah kesepakatan dalam matematika. Siswa secara tidak sadar menerima kesepakatan itu ketika mulai mempelajari tentang angka atau bilangan. Termasuk pula penggunaan kata "satu" untuk lambang "1" , atau "sama dengan" untuk "" merupakan kesepakatan.

Contoh (SMP, SMA)

Istilah "fungsi" kita batasi pengertiannya sebagai pemetaan yang mengawankan setiap elemen dari himpunan yang satu ke tepat sebuah elemen di himpunan yang lain. Mengapa harus menggunakan kata "tepat satu"? Penggunaan kata "tepat satu" merupakan contoh kesepakatan dalam matematika. Bila ada pemetaan yang benilai ganda, kita tidak menyebutnya sebagai fungsi.

Dalam matematika, kesepakatan atau konvensi merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma (postulat, pernyataan pangkal yang tidak perlu pembuktian) dan konsep primitive (pengertian pangkal yang tidak perlu didefinisikan, undefined term). Aksioma yang diperlukan untuk menghindari berputar-putar dalam pembuktian (circulus in probando). Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindari berputar-putar dalam pendefinisian (circulus in definiendo).

Aksioma dapat diklasifikasikan menjadi 2 jenis; (1) aksioma yang bersifat "self evident truth", yaitu bila kebenarannya langsung terlihat dari pernyataannya, dan (2) aksioma yang bersifat "non-self evident truth", yaitu pernyataan yang mengaitkan fakta dan konsep lewat suatu relasi tertentu. Bentuk terakhir ini lebih terlihat sebagai sebuah kesepakatan saja.

Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan beberapa teorema. Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian.

Contoh (SMP, SMA) (contoh pengertian pangkal dan aksioma)

Titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur primitif atau pengertian pangkal dalam geometri euclid. Sementara salah satu aksioma di dalamnya adalah: "melalui dua buah titik ada tepat satu garis lurus yang dapat dibuat".

Contoh (SMA) (contoh sistem aksioma)

Group didefinisikan lewat sistem aksioma. Suatu himpunan G dengan operasi biner* yang memenuhi (1) tertutup, (2) asosiatif, (3) mempunyai unsur identitas, dan (4) tiap eleman memiliki invers, disebut suatu group, dan ditulis (G,*). Aksioma tersebut bersifat non-self evident truth.

3. Berpikir berpola pikir deduktif

Dalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif (Suherman, dkk., 2001). Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana.

Contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam maematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam metematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.

Contoh

Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

+ 1 -3 5 7

1 2 -2 6 8

-3 -2 -6 2 4

5 6 2 10 12

7 8 4 12 14

Dari tabel penjumlah ini, jelas bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi, tetap kita tidak dibenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelumnya kita membuktikannya secara deduktif.

Misalkan secara deduktif sebagai berikut: Andaikan m dan n adalah sembarang dua bilangan bulat, maka 2m+1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahka:

(2m+1)+(2n+1) = 2(m+n+1)

Karena m dan n bilangan bulat, maka (m+n+1) bilangan bulat, sehingga 2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua buah bilangan ganjil selalu genap.

4. Berpikir konsisten dalam sistemnya

Dalam matematika terdapat berbagai macam sistem yang dibentuk dari beberapa aksioma dan memuat beberapa teorema. Ada sistem-sistem yang berkaitan, ada pula sistem-sistem yang dapat dipandang lepas satu dengan lainnya. Sistem-sistem aljabar dengan sistem-sistem geometri dapat dipandang lepas satu dengan lainnya. Di dalam sistem aljabar terdapat pula beberapa sistem lain yang lebih "kecil" yang berkaitan satu dengan lainnya. Demikian pula di dalam sistem geometri.

Contoh 41 (SMP, SMA) (contoh sistem aksioma)

Di dalam aljabar terdapat sistem aksioma dalam grup, sistem aksioma dalam ring, sistem aksioma dalam lapangan (field), dan lain-lain. Di dalam geometri terdapat sistem geometri netral, sistem geometri insidensi, sistem geometri Euclides, sistem geometri Lobachevski, dan lain-lain.

Di dalam masing-masing sistem berlaku ketaatazasan atau konsistensi. Artinya bahwa dalam setiap sistem tidak boleh terdapat kontradiksi. Suatu teorema atau pun definisi harus menggunakan istilah atau konsep yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenarannya.

Antara sistem atau struktur yang satu dengan sistem atau struktur yang lain tidak mustahil terdapat pernyataan yang saling kontradiksi.

Contoh (SMA) (Dua sistem yangmemilikipernyataan yang berbeda)

Contoh berikut sangat terkenal dalam matematika. Di dalam sistem geometri Euclid (geometri "datar", yaitu geometri yang biasa dipelajari di sekolah) dikenal teorema berikut ini. "Jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga adalah seratus delapan puluh derajat". Sementara di dalam sistem geometri Riemann (geometri "lengkung bola", salah satu sistem geometri non-euclides), salah satu teorema berbunyi. "Jumlah besar sudut-sudut sebuah segitiga lebih (besar) dari seratus delapan puluh derajad".

5. Berpikir dengan memahami simbol yang kosong dari arti

Di dalam matematika banyak sekali terdapat simbol baik yang berupa huruf Latin, huruf Yunani, maupun simbol-simbol khusus lainnya. Simbol-simbol tersebut membentuk kalimat dalam matematika yang biasanya disebut model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, maupun fungsi. Selain itu ada pula model matematika yang berupa gambar (pictorial) seperti bangun- bangun geometrik, grafik, maupun diagram.

Contoh (SMP, SMA) (simbol yang kosong dari arti)

Model matematika, seperti x + y= z tidak selalu berarti bahwa x, y, dan z berarti bilangan. Secara sederhana, bilangan-bilangan yang biasa digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Bilangan tersebut dapat berarti panjang, jumlah barang, volum, nilai uang, dan lain-lain tergantung pada konteks di mana bilangan itu diterapkan. Bahkan tanda "" tidak selalu berarti operasi tambah untuk dua bilangan, bisa jadi operasi untuk vektor, matriks, dan lain-lain.

Jadi secara umum, model/simbol matematika sesungguhnya kosong dari arti. Ia akan bermakna sesuatu bila kita mengkaitkannya dengan konteks tertentu. Secara umum, hal ini pula yang membedakan simbol matematika dengan simbol bukan matematika. Kosongnya arti dari model-model matematika itu merupakan "kekuatan" matematika, yang dengan sifat tersebut ia bisa masuk pada berbagai macam bidang kehidupan, dari masalah teknis, ekonomi, hingga ke bidang psikologi.

Walaupun demikian, kebanyakan siswa masih cukup kuat terikat dengan makna yang pertama kali atau yang biasa diajarkan oleh gurunya. Hal ini seperti yang pernah dikeluhkan oleh matematikawan Whitehead, "Yang paling sukar untuk menjelaskan kepada seseorang yang baru belajar matematika ialah bahwa x itu sama sekali tidak berarti". (Sumardyono, 2004). Maka dari itu, guru harus senantiasa waspada pada pengertian yang dipakai oleh siswa dalam mempelajari suatu topik bahasa matematika.

6. Berpikir dengan memperhatikan semesta pembicaraan

Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol matematika, maka bila kita menggunakannya kita seharusnya memperhatikan pula lingkup pembicaraannya. Lingkup atau sering disebut semesta pembicaraan bisa sempit bisa pula luas. Bila kita berbicara tentang bilangan-bilangan, maka simbol-simbol tersebut menunjukkan bilangan-bilangan pula. Begitu pula bila kita berbicara tentang transformasi geometris (seperti translasi, rotasi, dan lain-lain) maka simbol-simbol matematikanya menunjukkan suatu transformasi pula. Benar salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu soal atau masalah, juga ditentukan oleh semesta pembicaraan yang digunakan. Berikut ini beberapa contoh sederhana.

Contoh (SD, SMP) (contoh penggunaan lingkup pembicaraan)

Dalam semesta himpunan bilangan bulat, terdapat model 2x = 3. Adakah penyelesaiannya? Bila diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semesta pembicaraanya, maka diperoleh x = 1,5. Tetapi 1,5 bukan bilangan bulat. Jadi dalam hal ini dikatakan bahwa model tersebut tidak memiliki penyelesaian dalam semesta pembicaraan bilangan bulat. Atau sering dikatakan penyelesaiannya adalah "himpunan kosong".Dalam semesta pembicaraan vektor di bidang datar, terdapat model a + b = x Di sini jelas bahwa huruf-huruf tersebut tidak berarti bilangan, tetapi harus berarti suatu vektor. Dalam hal ini bila vektor a dan b telah diketahui maka kita dapat menentukan vektor x dengan berbagai cara, salah satunya secara geometris seperti di bawah ini.

Sumber:

Suherman, Erman, dkk. 2001.Common Text Book Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: JICA Universitas Pendidikan Indonesia

Sumardyono. (2004). Karakteristi Matematika dan Implikasinya terhadap Pembelajaran Matematika. Yogyakarta: Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah