0 Penalaran Matematika

A.    Penalaran

Istilah penalaran merupakan terjemahan dari kata reasoning yang artinya jalan pikiran seseorang. Penalaran merupakan tahapan berpikir matematik tingkat tinggi, mencakup kapasitas untuk berpikir secara logis dan sistematis. “Kemampuan bernalar memungkinkan peserta didik untuk dapat memecahkan permasalahan dalam kehidupannya, di dalam dan di luar sekolah” (Yaniawati:2010).

Dalam dunia matematika diperlukan penalaran matematika seseorang guna memecahkan permasalahan yang dihadapi. Karena dalam penalaran terdapat tahapan yang logis serta sistematis jalannya proses berpikir. Proses berpikir yang diharapkan yaitu proses berpikir matematis. Proses berpikir matematis sendiri adalah suatu kejadian yang dialami seseorang ketika menerima respon sehingga menghasilkan kemampuan untuk menghubung-hubungkan sesuatu dengan sesuatu yang lainnya secara matematis untuk memecahkan/menjawab suatu persoalan atau permasalahan sehingga menghasilkan ide gagasan, pemecahan/jawaban yang logis.

B.     Penalaran Matematika

Penalaran matematika adalah salah satu proses berpikir yang dilakukan dengan cara menarik suatu kesimpulan (Nurahman: 2011). Penalaran matematika merupakan hal yang sangat penting untuk mengetahui dan mengerjakan permmasalahan matematika. Secara umum, terdapat dua model penalaran matematika, yakni penalaran induktif dan penalaran deduktif.

1. Penalaran Deduktif

Menurut Suherman (2001) bahwa matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematik harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap-tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.

Menurut Matlin (2009) bahwa penalaran deduktif berarti membuat beberapa kesimpulan logis  berdasarkan informasi yang diberikan. Salah satu jenis penalaran deduktif adalah penalaran kondisional. Masalah penalaran kondisional (penalaran proposisional) menginformasikan kepada kita mengenai keterkaitan antara dua kondisi. Berikut adalah contoh tugas penalaran kondisional.

Jika bulan bersinar, saya dapat melihat tanpa lampu senter

Saya tidak dapat melihat tanpa lampu senter

Jadi, bulan tidak bersinar.

Berikut contoh pembuktian yang berdasarkan penalaran deduktif,

Buktikan bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

Andaikan m dan n adalah sembarang dua bilangan bulat, maka 2m+1 dan 2n+1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan:

(2m+1)+(2n+1) = 2(m+n+1)

Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n + 1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua buah bilangan ganjil selalu genap.

Menurut uraian di atas dapat disimpulkan bahwa penalaran deduktif yaitu pernalaran yang mengambil kesimpulan berdasarkan hal yang umum, yang telah dibuktikan terlebih dahulu.

2. Penalaran Induktif

Berikut contoh pembuktian yang berdasarkan penalaran induktif,

Buktikan bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

     +          1          -3         5          7

     1          2          -2         6          8

     -3         -2         -6         2          4

     5          6          2          10        12

     7          8          4          12        14

Dari tabel penjumlah ini, jelas bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi, tetap kita tidak dibenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelumnya kita membuktikannya secara deduktif.

Setelah kita menelaah contoh pembuktian secara induktif di atas telah terjadi proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan suatu fakta atau konsep khusus yang sudah diketahuikepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penalara induktif adalah proses berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang bersifat umum berdasarkan pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar.

Selanjutnya berdasarkan NCTM (Yaniawati: 2009) bahwa indikator penlaran matematika yaitu:

1.        Membuat dan menguji konjektur

2.        Merumuskan yang bukan contoh

3.        Mengikuti argument yang logis

4.        Mempertimbangkan validitas dari argument yang valid

5.        Mengontruksi argument yang valid

6.        Mengontruksi bukti-bukti untuk pernyataan matematik, termasuk bukti tidak langsung dan bukti dengan induksi matematik.

Sumber:

Matlin, Margaret W. (2009). Cognitive Psychology Seventh Edition International Student Version. Printed In Asia: John Wiley & Sons, Inc.

Nurahman, Iman.. (2011). “Pembelajaran Kooperatif Tipe Team-Accelerated Instruction (TAI) Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematika Siswa SMP”. Pasundan Journal of Mathematics Education Jurnal. 1, (1), 96-130.

Suherman, Erman, dkk.. (2001). Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: JICA- Universitas Pendidikan Indonesia.

Yaniawati, R. Poppy. (2010). e-learning Alternatif Pembelajaran Kontemporer. Bandung: Arfino Raya.